Գլանաձև պարաբոլական կոորդինատական համակարգ

Գլանաձև պարաբոլական կոորդինատական համակարգ (պարաբոլական գլանի կոորդինատներ )

$(u,\;v,\;z)$ , կոորդինատական համակարգ, որը հանդիսանում է դեկարտյան $z$ ` ապլիկատի ավելացումով պարաբոլական կոորդինատների ընդհանրացում։

Գոյություն ունի այդ կոորդինատների մի քանի կողմնորոշում։ Առավել տարածված է հետևյալ կողմնորոշման ձևը։

{\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}

$u=\mathrm {const}$ և $v=\mathrm {const}$ մակարդակի մակերևույթը պարբոլական գլանի հիմքն է, որը ձևավորող բաղադրիչները զոոգահեռ են $z$ առանցքին։

Կապը այլ կոորդինատական համակարգերի հետ

{\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}

{\begin{cases}\rho ={\dfrac {c}{2}}(u^{2}+v^{2}),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {2uv}{u^{2}-v^{2}}}\right),\\z=z.\end{cases}}

Լամեի գործակիցը տվյալ կոորդինատական համակարգում ունի հետևյալ տեսքը՝

{\begin{cases}H_{u}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{v}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{z}=1.\end{cases}}

\mathrm {grad} \,F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left({\frac {\partial F}{\partial u}}{\vec {e}}_{u}+{\frac {\partial F}{\partial v}}{\vec {e}}_{v}\right)+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.

\mathrm {div} {\vec {A}}(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v}\right)\right]+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.

\mathrm {rot} \,{\vec {A}}={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial v}}A_{z}-{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})\right]{\vec {e}}_{u}+{\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})-{\frac {\partial }{\partial u}}A_{z}\right]{\vec {e}}_{v}+

+{\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})-{\frac {\partial }{\partial v}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})\right]{\vec {e}}_{z}.

\Delta F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.